1908-жылы 25-сентябрда Ысык-Көл облусунун Тору-Айгыр айылында туулган. 1916-жылы ата-энеси менен кошо Кытайга качып, башка качкындар сыяктуу эле оор сыноолорду башынан өткөргөн. Кытайдан кайткандан кийин, 15 жаштагы Исага айыл мектебинде окууга мүмкүнчүлүк түзүлөт. Кыштын суугунда, жайдын ысыгында мектепке барып келүү үчүн күнүнө 20 чакырым жолду басып өтүүгө туура келген. 1925-жылы билим алуусун улантуу үчүн Рыбачье шаарынан Фрунзеге, андан Ташкентке жөнөп кетет. Ал жерден медициналык техникумду аяктап, Ташкенттеги Орто Азия университетинин медициналык факультетине кабыл алынат.
1935-жылы университетти бүтүргөн соң, Иса Коноевич Мекенине кайтып келет. 1936-жылдан тартып Фрунзе шаардык ооруканада хирургия бөлүмүндө врач-ординатор болуп иштей баштайт. 1946-жылы «Балдардагы аппендицит» деген темада кандидаттык диссертациясын коргоп, эки жылдан кийин «Чүй өрөөнүндөгү эндемиялык зоб» темасында доктордук диссертациясын коргойт. Ошол эле жылы Кыргыз мамлекеттик медициналык институтунун ректору болуп дайындалат. 1948-жылы ал биринчи жолу кыргыз элинин тарыхында СССР Илимдер Академиясынын мүчө-корреспонденти жана Хирургдардын эл аралык ассоциациясынын мүчөсү болгон.
1935–1939-жылдары Кыргыз ССРинин саламаттык сактоо эл комиссары болуп иштеген. 1943-жылдан тартып КПССтин мүчөсү, ал эми 1949-жылдан Кыргыз ССР КП БКнын мүчөсү болгон. СССР Жогорку Советинин 2, 3 жана 4-чакырылыштарында депутат жана Кыргыз ССР Жогорку Советинин эки чакырылышында депутат болгон.
Кыргыз ССР Илимдер Академиясын түзүүгө активдүү катышкан. 1952-жылы СССР ИАнын Кыргыз филиалынын президиумунун төрагасы болгон. 1954-жылдын 20-декабрынан тартып Кыргыз ССР Илимдер Академиясынын биринчи президенти болуп дайындалып, бул кызматты 1960-жылдын 20-февралына чейин аркалаган.
1959-жылдын башында Иса Ахунбаев Орто Азияда алгач ирет жүрөккө операция жасаган. Ал 300дөн ашык илимий иш жазган, алардын ичинде 8 монография жана 3 сөздүк бар. Анын жетекчилиги астында 6 доктордук жана 35 кандидаттык диссертациялар корголгон.
1961-жылдан тартып толугу менен хирургиялык ишмердүүлүккө өткөн. Анын негизги илимий иштеринин багыты — эндемиялык зоб, балдардагы аппендицит жана эхинококкозду изилдөө. Ахунбаев бир катар медициналык журналдардын редакторлорунун бири болгон. Алардын ичинде «Көкүрөк хирургиясы», «Эндокринология көйгөйлөрү», «Кан айлануу» жана «Кыргызстандын саламаттыкты сактоо» журналдары бар.
Иса Ахунбаев 1975-жылы 5-январда жубайы, кызы жана күйөө баласы менен бирге автокырсыктан каза болгон. Сөөгү Ала-Арча көрүстөнүнө коюлган.